Question

16．已知数列{a_n}的首项为a₁=5，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+n+5，求{a_n}通项公式．

Answer 1

分析 由S_n+1=2S_n+n+5可得到S_n=2S_n-1+n+4，然后两式相减可得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1，再两边同时加1可得到a_n+1+1=2（a_n+1），得到数列{a_n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由已知S_n+1=2S_n+n+5，
得n≥2时，S_n=2S_n-1+n+4，
两式相减，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，从而a_n+1+1=2（a_n+1）．
又a₁+1=5+1=6≠0，
即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项，2为公比的等比数列．
则${a}_{n}+1=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n}-1$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．