Question

8．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f_π（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，P，Q₁=f_β[f_α（P）]，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有PQ₁=PQ₂，则（　　）

• A． 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
• B． 平面α与平面β垂直
• C． 平面α与平面β平行
• D． 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

Answer 1

分析 设P₁是点P在α内的射影，点P₂是点P在β内的射影．根据题意点P₁在β内的射影与P₂在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP₁Q₁P₂为矩形，且∠P₁Q₁P₂是二面角α-l-β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．

解答 解：设P₁=f_α（P），则根据题意，得点P₁是过点P作平面α垂线的垂足
∵Q₁=f_β[f_α（P）]=f_β（P₁），
∴点Q₁是过点P₁作平面β垂线的垂足
同理，若P₂=f_β（P），得点P₂是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q₂=f_α[f_β（P）]表示点Q₂是过点P₂作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ₁=PQ₂，
∴点Q₁与Q₂重合于同一点
由此可得，四边形PP₁Q₁P₂为矩形，且∠P₁Q₁P₂是二面角α-l-β的平面角
∵∠P₁Q₁P₂是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：B

点评 本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．