Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$，数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ） 求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 证明：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ） 是否存在n（n∈N^*），使得数列{a_n}前2n+1项的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据数列的递推关系依次求出a₂、a₃的值，再求出a₂+a₃的值；
（Ⅱ）根据数列的递推关系和题意求出b_n+1的表达式，根据等比数列的定义证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）先假设存在n满足条件，由等比数列的通项公式求出b_n以及b_2n，设c_n=a_2n+a_2n+1并化简，利用分组求和法和等差数列的前n项和公式求出S_2n+1，解不等式即可得所有的n的值．

解答 解：（I） 因为a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$，
所以a₂=2a₁+2-2=1，a₃=-a₂-2=-3，所以a₂+a₃=-2；
（Ⅱ） 证明：因为a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+2n-2，n为奇数}\\{-{a}_{n}-n，n为偶数}\end{array}\right.$，
又b_n=a_2n，所以b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，
则$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2，且b₁=a₂=1，
故数列{b_n}是首项为1，公比为-2的等比数列；
（Ⅲ）假设存在n（n∈N^*），使得数列{a_n}前2n+1项的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，
由 （Ⅱ） 知，b_n=（-2）^n-1，则b_2n=（-2）^2n-1=-2^2n-1，
设c_n=a_2n+a_2n+1=a_2n+（-a_2n-2n）=-2n，
所以S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=a₁+c₁+c₂+…+c_n
=$\frac{1}{2}$-2（1+2+3+…+n）=$\frac{1}{2}-2×\frac{n（1+n）}{2}$=$-{n}^{2}-n+\frac{1}{2}$，
由S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$得，$-{n}^{2}-n+\frac{1}{2}≥-\frac{23}{2}$，
化简得n²+n-12≤0，解得-4≤n≤3，
所以，使得数列{a_n}前2n+1项的和S_2n+1≥-$\frac{23}{2}$恒成立，所有的n的值是1、2、3．

点评 本题考查递推数列的应用，定义法证明等比数列，等比数列的通项公式，以及数列的求和方法：分组求和法和，考查学生的运算和推理能力．