Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx─2．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=$\frac{1}{3}$x+1垂直，求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）记g（x）=f（x）+x─b（b∈R），当a=1时，函数g（x）在区间[e^─1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由两直线垂直的条件可得f′（1）=-3，求出a的值；
（2）求出f′（x），对a讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；
（3）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．

解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
由切线与直线y=$\frac{1}{3}$x+1垂直，即有f（x）在点P处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-2+a=-3⇒a=-1；
（2）f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$．当a=0时，f（x）单调减区间为（0，+∞），
当a＞0时，令f′（x）＞0⇒f（x）单调增区间为（$\frac{2}{a}$，+∞）；
令f′（x）＜0⇒f（x）单调减区间为（0，$\frac{2}{a}$）．
当a＜0时，∵x＞0，∴f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$＜0⇒f（x）单调减区间为（0，+∞）．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{2}{a}$）上单调递减；
（3）当a=1时，g（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2+x-b，
∴g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0⇒x=-2（舍去）或x=1，
在区间[e^-1，e]上．令g′（x）＞0⇒g（x）增区间为（1，e）；
令g′（x）＜0⇒减区间为（$\frac{1}{e}$，1）．
∴x=1是g（x） 在[e^─1，e]上唯一的极小值点，也是最小值点．
∴g（x）_min=g（1）=1-b．
∴要使g（x） 在[e^─1，e]上有两个零点，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）≥0}\\{g（e）≥0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜b≤$\frac{2}{e}$+e-1，
∴b的取值范围是（1，$\frac{2}{e}$+e-1]．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．