Question

15．已知实数x₁，x₂，…，x₁₀满足$\sum_{i=1}^{10}$|x_i-1|≤4，$\sum_{i=1}^{10}$|x_i-2|≤6，求x₁，x₂，…，x₁₀的平均值．

Answer 1

分析 由|x-1|+|x-2|≥1可得|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|≥10，再由|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|≤10可得，|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|=10，从而可判断x₁，x₂，…，x₁₀∈[1，2]，从而可得x₁+x₂+x₃+…+x₁₀=14，从而求平均值即可．

解答 解：∵|x-1|+|x-2|≥1恒成立（当且仅当x∈[1，2]取等号），①
将题中两式相加，并重新分组得，
|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|≤10，②
根据①得，|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|≥10，③
由②③得，|x₁-1|+|x₁-2|+|x₂-1|+|x₂-2|+…+|x₁₀-1|+|x₁₀-2|=10，
当且仅当x₁，x₂，…，x₁₀∈[1，2]时等号成立，
所以，x₁-1+x₂-1+x₃-1+…+x₁₀-1=4，
即x₁+x₂+x₃+…+x₁₀=14，
故平均数为$\frac{14}{10}$=1.4．

点评 本题考查了绝对值不等式的应用，同时考查了平均值的求法，属于基础题．