Question

5．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{a}$．
（I）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x-y-1=0，求a的值；
（II）设g（x）=$\frac{x-a}{\sqrt{ax}}$，a＞0，证明：当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln$\frac{x}{a}$-$\frac{x-a}{\sqrt{ax}}$（x＞a＞0），证明h（x）在（a，+∞）上单调递减，且h（a）=0，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=ln$\frac{x}{a}$，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln$\frac{1}{a}$，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln$\frac{1}{a}$-1=0，∴a=1；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-$\frac{x-a}{\sqrt{ax}}$（x＞a＞0），
则h′（x）=-$\frac{（\sqrt{x}-\sqrt{a}）}{2x\sqrt{ax}}$＜0，
∴h（x）在（a，+∞）上单调递减，且h（a）=0，
∴x＞a时，h（x）＜h（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，体现了数学转化思想方法，正确构造函数是解答该题的关键，是中档题．