Question

15．已知函数f（x）=x³+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．

解答 解：（1）由f（x）=x³+x-16，得
f′（x）=3x²+1，∴f′（2）=3×2²+1=13，
∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y-6=13（x-2），即13x-y-20=0；
（2）设切点为（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}+{x}_{0}-16$），${f}^{′}（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}+1$，
∴切线方程为$y-（{{x}_{0}}^{3}+{x}_{0}-16）=（3{{x}_{0}}^{2}+1）（x-{x}_{0}）$，
∵切线经过原点，
∴$-（{{x}_{0}}^{3}+{x}_{0}-16）=-{x}_{0}（3{{x}_{0}}^{2}+1）$，
∴$2{{x}_{0}}^{3}=-16$，x₀=-2．
则f′（-2）=13，
∴所求的切线方程为y=13x；
切点为（-2，-26）．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．