Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ADC=$\frac{π}{3}$，PD=PC=CD=2AB=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若PB⊥BC．
①求证：平面PBD⊥平面ABCD；
②求直线AE与底面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用中位线得出四边形ABFE为平行四边形，判断AE∥BF，再运用直线平面的平行的判定定理求解．
（Ⅱ）①根据条件得出△BCD中，BD=$\sqrt{3}$，运用勾股定理得出：BD⊥BC，最后运用平面与平面垂直的判定定理证明出平面PBD⊥平面ABCD即可；
②过点E作EG⊥BD于点G，连接AG，确定∠EAG是AE与底面ABCD所成的角，利用在Rt△BDE，Rt△PAD中求解线段即可得出sin∠EAG=$\frac{EG}{AE}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵CD=2AB，E为PD的中点，
∴EF∥DC，EF=1，AB=1，
∵底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴EF∥AB，EF=CD，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，
又∵BF?面PBC，
∴AE∥平面PBC；

（Ⅱ）①∵底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ADC=$\frac{π}{3}$，PD=PC=CD=2AB=2，
∴△BCD中，BD=$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得出：BD⊥BC，
又∵PB⊥BC，BD∩PB=B，
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD；
②过点E作EG⊥BD于点G，连接AG，

∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，EG?平面PBD，
∴EG⊥平面ABCD，
∴∠EAG是AE与底面ABCD所成的角，
∵底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ADC=$\frac{π}{3}$，PD=PC=CD=2AB=2，
∴BC=1，BD=$\sqrt{3}$，AD=1，PB=$\sqrt{3}$，PD=2，BF=AE=1，
∵在等腰△PBD中，PB=$\sqrt{3}$，PD=2，BD=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
根据面积得出：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$PO，求解得出；PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△BDE中，EG=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
在Rt△PAD中，AE=1，PD=2，
∴sin∠EAG=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{1}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直线AE与底面ABCD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间直线平面的垂直，平行，夹角问题；空间与平面的转化问题；关键是确定角，确定距离，转化为三角形中来解决，难度不大，但是知识点多，思路要清晰．