Question

19．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=3x+2，求a，b的值
（2）求函数f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a，b的方程组，即可解得a，b；
（2）求出函数的导数，对a讨论，当a＜0时，当a＞0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，即可得到极值．

解答 解：（1）曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=3x+2，
所以f′（2）=3，f（2）=8，又f′（x）=3x²-3a
则$\left\{\begin{array}{l}3×{2^2}-3a=3\\{2^3}-3a×2+b=8\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=18\end{array}\right.$；
（2）因为f′（x）=3x²-3a（a≠0）．
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）递增，
此时函数f（x）没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）=0，解得$x=±\sqrt{a}$，
当$x∈（{-∞，-\sqrt{a}}）$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当$x∈（{-\sqrt{a}，\sqrt{a}}）$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当$x∈（{\sqrt{a}，+∞}）$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时$x=-\sqrt{a}$是f（x）的极大值点，$x=\sqrt{a}$是f（x）的极小值点，
f（x）的极大值为$f（-\sqrt{a}）=2a\sqrt{a}+b$，f（x）的极小值为$f（\sqrt{a}）=-2a\sqrt{a}+b$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题的关键．