Question

9．已知二次函数f（x）=x²+ax+b在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求b²+ab+b的取值范围．

Answer 1

分析 首先利用二次函数的关系式，把b²+ab+b转化成求f（0）f（1）的值，进一步利用根和系数的关系建立不等式最后确定结果．

解答 解：二次函数f（x）=x²+ax+b的零点为x₁和x₂，且0＜x₁＜x₂＜1，
且二次函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，
则：f（0）=b=x₁x₂＞0，
f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）=1+a+b＞0
f（0）f（1）=b²+ab+b=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）$＜{（\frac{{x}_{1}+1-{x}_{1}}{2}）}^{2}$$•（\frac{{x}_{2}+1-{x}_{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{16}$
所以：${0＜b}^{2}+ab+b＜\frac{1}{16}$

点评 本题考查的知识要点：二次函数的零点和一元二次方程的根的关系，基本不等式的应用，及相关的运算．