Question

9．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，∠DAB=$\frac{π}{4}$，边长为2的正方形CDEF所在平面垂直平面ABCD，设N是AB的中点，M是直线DE上的动点（如图）．
（Ⅰ）若M是DE的中点，求证：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直线MN与直线AD所成角等于直线MN与平面ABCD所成角的2倍，求DM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CF的中点O，连接OM，证明OMNB是平行四边形，可得MN∥OB，即可证明MN∥平面FCB；
（Ⅱ）确定直线MN与直线AD所成角、直线MN与平面ABCD所成角，利用2倍关系，建立方程即可求DM的长．

解答 解：（Ⅰ）取CF的中点O，连接OM，则
∵AB∥CD，CDEF是正方形，M是DE的中点，
∴OM∥NB，OM=NB，
∴OMNB是平行四边形，
∴MN∥OB，
∵MN?平面FCB，OB?平面FCB，
∴MN∥平面FCB；
（Ⅱ）连接CN，则ADCN是平行四边形，
∴AD∥CN，
∴∠MNC就是直线MN与直线AD所成角，
∵ED⊥平面ABCD，
∴∠MND是直线MN与平面ABCD所成角，
设DM=x，则
∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠DAB=$\frac{π}{4}$，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴DN=$\sqrt{2+4-2•\sqrt{2}•2•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2+{x}^{2}}$
∴cos∠MND=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+{x}^{2}}}$，
∵MN=$\sqrt{2+{x}^{2}}$，CN=$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
∴cos∠MNC=$\frac{2+2+{x}^{2}-4-{x}^{2}}{2\sqrt{2}•\sqrt{2+{x}^{2}}}$=0，
∴∠MNC=90°，
∵直线MN与直线AD所成角等于直线MN与平面ABCD所成角的2倍，
∴∠MND=45°，
∴cos∠MND=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+{x}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，即DM=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出空间角是关键．