Question

14．已知函数f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx+$\frac{3}{2}$（ω＞0），其两条相邻对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）若对?x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的倍角公式将三角函数进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可求f（x）的解析式
（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化为求函数的最值问题即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$，
∵两条相邻对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$．
∴T=2×$\frac{π}{2}=π$，即$\frac{2π}{2ω}=π$，则ω=1，
则f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$．
（2）若|f（x）-m|≤1，
则-1≤f（x）-m≤1，
即f（x）-1≤m≤1+f（x），
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，0]，
∴2x∈[-$\frac{π}{6}$，0]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
则sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]，
即f（x）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]，
f（x）-1∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$]，f（x）+1∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3，$\sqrt{3}$+$\frac{5}{2}$]，
则$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3，
即实数m的取值范围是[$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．