Question

19．已知在数列{a_n}，{b_n}，a₁=0，b₁=1，a_n≥0，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据等差、等比中项的性质列出方程，结合条件求出数列{a_n}、{b_n}前四项，找出规律归纳出a_n和b_n，再利用数学归纳法进行证明即可．

解答 解：因为a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，
所以2b_n=a_n+a_n+1，${{a}_{n+1}}^{2}={b}_{n}{b}_{n+1}$，
因为a₁=0，b₁=1，a_n≥0，
所以依次求得：a₂=2、b₂=4，a₃=6、b₃=9，a₄=12、b₄=16，…，
可猜想：a_n=（n-1）n，${b}_{n}={n}^{2}$，
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=0，b₁=1，则n=1时成立；
（2）假设n=k（k≥2）时，有a_k=（k-1）k，${b}_{k}={k}^{2}$，
那么n=k+1时，由2b_k=a_k+a_k+1得，
a_k+1=2b_k-a_k=2k²-（k-1）k=k²+k=k（k+1），
由${{a}_{k+1}}^{2}={b}_{k}{b}_{k+1}$得，b_k+1=$\frac{{{a}_{k+1}}^{2}}{{b}_{k}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{{k}^{2}}$=（k+1）²，
故n=k+1时，也成立，
综上可得，a_n=（n-1）n，${b}_{n}={n}^{2}$．

点评 本题考查等差、等比中项的性质，归纳推理，以及数学归纳法在数列中的应用，属于中档题．