Question

11．已知在△ABC中，2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，则A的取值范围为$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

Answer 1

分析 利用已知条件通过三角形的内角和化B为A，C关系，通过然后按照A，C集项，利用构造法求出A的三角函数的范围，然后求解A的范围即可．

解答 解：2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB=$\sqrt{3}$sinC-sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC，
可得$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{SsinC}{2+cosC}$，
令$\frac{sinC}{2+cosC}=\frac{1}{m}$，则msinC=2+cosC，
可得m²sin²C=4+2cosC+cos²C，
∴（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0，
关于cosC的方程有解，可得△=16-4（1+m²）（4-m²）≥0，解得：m$≥\sqrt{3}$．
∴$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}≤\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sin（A+$\frac{π}{6}$）$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，A是三角形的内角，
∴$\frac{π}{3}≤$A+$\frac{π}{6}$$≤\frac{2π}{3}$，可得A∈$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．
故答案为：$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题考查三角形的解法两角和与差的三角函数，三角方程的求解，考查分析问题解决问题的能力．