Question

16．已知函数f（x）=1+2sin$\frac{x}{3}$（cos$\frac{x}{3}$-sin$\frac{x}{3}$）．
（1）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求函数f（C）的最大值，并求出此时C的值；
（2）若f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，且b²=ac，求cosB的值．

Answer 1

分析 通过两角和与差的三角函数化简已知条件．
（1）利用三角函数的最值直接求解函数的最值以及C的大小．
（2）通过f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，求出C的值，推出三角形是直角三角形，然后即可求解cosB的值．

解答 解：函数f（x）=1+2sin$\frac{x}{3}$（cos$\frac{x}{3}$-sin$\frac{x}{3}$）=1+2sin$\frac{x}{3}$cos$\frac{x}{3}$-2sin²$\frac{x}{3}$=sin$\frac{2x}{3}$+cos$\frac{2x}{3}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2x}{3}+\frac{π}{4}$）．
（1）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，函数f（C）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2C}{3}+\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$．此时$\frac{2C}{3}+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{3π}{8}$．
（2）f（C-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{2C-\frac{π}{4}}{3}+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．即：sin（$\frac{2C}{3}+\frac{π}{6}$）=1，$\frac{2C}{3}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{2}$．
∵b²=ac，c²-a²=ac，即$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
cosB=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值以及三角形的判断，考查计算能力．