Question

10．（理）设函数f（x）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，
（1）求导函数f′（x）
（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2求a，b．

Answer 1

分析 （1）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求得导函数f′（x）；
（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，把x=1代入切线方程求得切点的纵坐标，再代入原函数求得b的值，然后由f（x）在x=1时的导数值求得a．

解答 解：（1）由f（x）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，
得${f}^{′}（x）=（a{e}^{x}lnx）^{′}+（\frac{b{e}^{x-1}}{x}）^{′}$
=$a{e}^{x}lnx+\frac{a{e}^{x}}{x}+\frac{b{e}^{x-1}x-b{e}^{x-1}}{{x}^{2}}$；
（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，
将x=1代入切线方程得：y=2．
将x=1代入函数f（x）得：f（1）=b．
∴b=2．
将x=1代入导函数，
则f'（1）=ae=e．
∴a=1．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了简单的复合函数的导数，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，是中低档题．