Question

15．已知函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），均有f（x）≥f（-x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（2）问题等价于e^x-e^-x+2ax≥0恒成立，令h（x）=e^x-e^-x+2ax（x≥0），通过讨论a判断h（x）的单调性，从而得到答案．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0得 x＞ln（-a），
所以f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，在（-∞，ln（-a））上单调递减，
综上可知，当a≥0时，f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（ln（-a），+∞），f（x）的单调减区间是（-∞，ln（-a））；
（2）当x≥0时，f（x）≥f（-x）即e^x+ax≥e^-x-ax恒成立，
等价于e^x-e^-x+2ax≥0恒成立令h（x）=e^x-e^-x+2ax（x≥0），
则$h′（x）={e}^{x}+{e}^{-x}+2a≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2a=2+2a$，当且仅当x=0时，等号成立，
①当a＞-1时，h′（x）＞0，∴h（x）在[0，+∞）上是增函数，故h（x）≥h（0）=0恒成立，
②当a=-1时，若x=0，则h′（x）=0；若x＞0，则h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数故h（x）≥h（0）=0恒成立，
③当a＜-1时，方程h′（x）=0的正根为${x_1}=ln（-a+\sqrt{{a^2}-1}）$，此时，若x∈（0，x₁），
则 h′（x）＜0，故h（x）在该区间为减函数，
所以当x∈（0，x₁）时，h（x）＜h（0）=0，这与h（x）≥0恒成立矛盾；
综上可知，满足条件a的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．