Question

7．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是线段PB的中点．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求点M到平面PCD的距离；
（3）求直线MC与平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面PCD的距离；
（3）利用向量的夹角公式，求直线MC与平面PCD所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得P（0，0，1），D（1，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵M是线段PB的中点，
∴M（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
∴M到平面PCD的距离为d=$\frac{|-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（3）$\overrightarrow{MC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
设直线MC与面PCD所成角为θ，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直线MC与平面PCD所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，点到平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．