Question

12．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1，x∈R．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可a的最小值；
（2）由g（x）=0，求出函数f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上取值范围，结合对数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²（x-$\frac{π}{4}$）-1
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
即函数的对称轴为x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∵y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，
∴当k=0时，a有最小值$\frac{π}{12}$．
（2）若函数g（x）=f（x）-log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有零点，
即g（x）=f（x）-log₂m=0在[0，$\frac{5π}{12}$]上有解，
即f（x）=log₂m在[0，$\frac{5π}{12}$]上有解，
当0≤x≤$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$，
即-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，-1≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤2，
由-1≤log₂m≤2，
解得$\frac{1}{2}$≤m≤4，
故实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，4]．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键．