Question

7．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的两个单位向量，$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积运算求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，根据向量的模的运算求出|$\overrightarrow{b}$|=2，再根据向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，问题得以解决．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为$\frac{π}{3}$的两个单位向量，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2（$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=2$|\overrightarrow{{e}_{1}}|$•$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$cos$\frac{π}{3}$+2=1+2=3，|$\overrightarrow{b}$|=2，
设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$|\overrightarrow{a}|$cosθ=$|\overrightarrow{a}|$•$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2}$

点评 本题考查向量数量积的运算和向量的夹角公式以及向量的投影，属于中档题．