Question

18．已知等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d，又知d≠1，且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀．
（1）求a₁及d的值；
（2）b₁₆是不是{a_n}中的项？

Answer 1

分析 （1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，结合条件求出a₁及d的值；
（2）由（1）等差、等比数列的通项公式求出a_n、b_n，再求出b₁₆，令b₁₆=a_n列出方程，求出n的值即可判断．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}={b}_{1}}\\{{a}_{1}+3d={b}_{1}•{d}^{3}，①}\\{{a}_{1}+9d={b}_{1}•{d}^{9}，②}\end{array}\right.$，
又d≠1，则由①得${a}_{1}=\frac{3d}{{d}^{3}-1}$，
代入②化简得d⁶+d³-2=0，解得d³=-2或1，
则d=$-\root{3}{2}$或d=1（舍去），
代入${a}_{1}=\frac{3d}{{d}^{3}-1}$化简得，a₁=-d=$\root{3}{2}$，
所以a₁及d的值分别是$\root{3}{2}$、$-\root{3}{2}$；
（2）由（1）可得，a_n=a₁+（n-1）d=$-\root{3}{2}$n，
b_n=b₁•d^n-1=$\root{3}{2}$${•（-\root{3}{2}）}^{n-1}$=-${（-\root{3}{2}）}^{n}$，
所以b₁₆=-${（-\root{3}{2}）}^{16}$，
令-${（-\root{3}{2}）}^{16}$=$-\root{3}{2}$n，则n=${（\root{3}{2}）}^{15}$=32，
所以b₁₆是数列{a_n}中的第32项．

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项公式，以及方程思想，考查化简计算能力．