Question

8．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^{2}+{b}^{2}=（1+r）^{2}}\\{（3-a）^{2}+（-\sqrt{3}-b）^{2}={r}^{2}}\\{（a+\sqrt{3}b）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$．（r＞0）

Answer 1

分析 把方程组的第三个式子变形，得其几何意义为点（a，b）到直线$x+\sqrt{3}y=0$的距离等于r，结合第二个方程组知圆（x-a）²+（y-b）²=r²与直线$x+\sqrt{3}y=0$相切于（$3，-\sqrt{3}$），由此得到关于a，b的等式，再由前两个方程组结合关于a，b的等式消去r，求解关于a，b的方程组得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^{2}+{b}^{2}=（1+r）^{2}①}\\{（3-a）^{2}+（-\sqrt{3}-b）^{2}={r}^{2}②}\\{（a+\sqrt{3}b）^{2}=4{r}^{2}③}\end{array}\right.$，
①-②得：2a-$\sqrt{3}b$=r+6④，
由③得：$\frac{|a+\sqrt{3}b|}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}=r$，即点（a，b）到直线$x+\sqrt{3}y=0$的距离等于r，
结合②知，圆（x-a）²+（y-b）²=r²与直线$x+\sqrt{3}y=0$相切于（$3，-\sqrt{3}$），
∴$\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}=\sqrt{3}$，即$b=\sqrt{3}a-4\sqrt{3}$⑤，
把④代入②得，${b}^{2}+2\sqrt{3}b+6a-24=0$⑥，
联立⑤⑥得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=0}\end{array}\right.$ 时，r=2；
当$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$ 时，r=6．

点评 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了圆的标准方程，考查了计算能力，是中档题．