Question

16．已知函数f（x）=xlnx
（1）若直线l过点（1，0），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（2）设函数g（x）=f（x）-a（x-1）在[1，e]上有且只有一个零点，求a的取值范围．（其中a∈R，e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义以及直线和切线相切的条件即可求直线l的方程；
（2）将条件转化为函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点，即可得到结论．

解答 解：（1）设切点坐标为（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，切线的斜率为lnx₀+1，
所以切线l的方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
又切线l过点（1，0），所以有-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（1-x₀），
即lnx₀=x₀-1，解得x₀=1，y₀=0．
所以直线l的方程为y=x-1．
（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0
所以，所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点．
因为g′（x）=lnx+1-a
所以由g′（x）＜0?lnx+1-a＜0?0＜x＜e^a-1，
g′（x）＞0?x＞e^a-1
所以g（x）在（0，e^a-1）上单调递减，在（e^a-1，+∞）上单调递增．
①当e^a-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1，e]上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0
此时函数g（x）在（1，e]上没有零点，
②当1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）在[1，e^a-1）上单调递减，在（e^a-1，e]上单调递增．
又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在（1，e]上的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1
所以，（i）当1＜a≤$\frac{e}{e-1}$时，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，
即此时函数g（x）在（1，e]上有零点．
（ii）当$\frac{e}{e-1}$＜a＜2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1，e]上没有零点．
③当e≤e^a-1 即a≥2时，g（x）在[1，e]上单调递减，
所以g（x）在[1，e]上满足g（x）＜g（1）=0，
此时函数g（x）在（1，e]上没有零点
综上，所求的a的取值范围是a≤1或$\frac{e}{e-1}$＜a．

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．