Question

11．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC成60°的两面角，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①AC⊥BD；
②△DBC是等边三角形；
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{\sqrt{6}}{24}$．
其中正确命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得①正确；
过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得②正确；
利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③错误；

解答 解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：DO=BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；
∵V_D-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，∴③错误；
故选A．

点评 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力．