Question

6．假设实数m，n满足m²+n²=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为{0}．

Answer 1

分析 先利用辅助角公式和m²+n²=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），根据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k₁=f′（b）=a+cos（b+φ），k₂=f′（c）=a+cos（c+φ），则[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=-1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=-1或者cos（b+φ）=-1，cos（c+φ）=1，代入到[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=-1，即可求出a=0．

解答 解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx
∴f（x）=ax+$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+φ），
∵m²+n²=1，
∴f（x）=ax+sin（x+φ），
∴f′（x）=a+cos（x+φ），
∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，
设在x=b与x=c处的切线互相垂直，
则k₁=f′（b）=a+cos（b+φ），k₂=f′（c）=a+cos（c+φ），
∴k₁•k₂=-1，
即[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=-1，
∴关于a的二次方程a²+[cos（b+φ）+cos（c+φ）]a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，
∴△=[cos（b+φ）+cos（c+φ）]²-4×[cos（b+φ）cos（c+φ）+1]
=[cos（b+φ）-cos（c+φ）]²-4≥0，
又∵-2≤cos（b+φ）-cos（c+φ）≤2，
∴[cos（b+φ）-cos（c+φ）]²≤4，即[cos（b+φ）-cos（c+φ）]²-4≤0，
∴[cos（b+φ）-cos（c+φ）]²-4=0
∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=-1或者cos（b+φ）=-1，cos（c+φ）=1，
∵[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=-1，
∴a²-1=-1，
∴a=0，
故答案为：{0}．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，两直线垂直的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．