Question

14．设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（　　）

• A． y=4x
• B． y=3x
• C． y=-3x
• D． y=-2x

Answer 1

分析 求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x的导函数是
f′（x）=3x²+2ax+a-2，
由f′（x）是偶函数，
即有f′（-x）=f′（x），
即为3x²-2ax+a-2=3x²+2ax+a-2，
可得a=0，
即有f（x）=x³-2x，f′（x）=3x²-2，
即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为-2，
则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=-2x，
故选D．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键．