Question

17．已知函数f（x）=e^|x|+|x-a|是偶函数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）是偶函数列式求得a的值，然后求出函数在x=1处的导数值及f（1），利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当x＞0时，把不等式f（x）≥x转化为e^x≥0成立，此式显然成立；当x＜0时，把不等式f（x）≥x转化为e^-x≥2x成立，此式在x＜0时显然成立，从而得到原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^|x|+|x-a|是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即e^|-x|+|-x-a|=e^|x|+|x-a|，
∴|x+a|=|x-a|，则a=0，
故f（x）=e^|x|+|x|，f（1）=e+1，
当x＞0时，f（x）=e^x+x，得f′（x）=e^x+1，
∴f′（1）=e+1．
从而曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率k=e+1，
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e+1）=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x；
（Ⅱ）当x≥0时，e^x≥1恒成立，从而原不等式f（x）≥x，即e^x≥0成立，
此时不等式的解集为{x|x≥0}；
当x＜0时，原不等式f（x）≥x即为e^-x≥2x，
而x＜0时，e^|x|=e^-x＞1，2x＜0，故此时e^-x≥2x恒成立，即此时不等式的解集为{x|x＜0}，
∴原不等式的解集为R．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，训练了不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．