Question

7．如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR（如图所示），设∠PAB=θ．
（Ⅰ）用含有θ的式子表示矩形PQCR的面积S；
（Ⅱ）求长方形停车场PQCR面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．
（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，代入S化简得 S=$\frac{8100}{2}（t-\frac{10}{9}）^{2}+950$，利用二次函数性质求出S的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由于∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，
知AM=90cosθ，PM=90sinθ，
RP=RM-PM=100-90sinθ，
PQ=MB=100-90cosθ，
S=PQ•PR=（100-90sinθ ）（100-90cosθ ）
=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ．
∴S=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；
（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．      
即t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），0≤θ≤$\frac{π}{2}$，1≤t≤$\sqrt{2}$，
代入S化简得 S=$\frac{8100}{2}（t-\frac{10}{9}）^{2}+950$．
故当t=$\frac{10}{9}$时，S_min=950（m²）；
当t=$\sqrt{2}$时，S_max=14050-9000$\sqrt{2}$（m²）．

点评 本题考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属中档题．