Question

20．已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄的值为（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013}{2014}$
• D． $\frac{2012}{2013}$

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线垂直时斜率之积为-1的条件，可求，a，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．

解答 解：∵f（x）=x²-ax
∴f′（x）=2x-a，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵切线l与直线x+3y+2=0垂直，∴2-a=3，
∴a=-1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+…+$\frac{1}{f（2014）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故选：B．

点评 本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线垂直时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用，属于中档题．