Question

9．如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2AE=4．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）若三角形PAB是等腰三角形，求三棱锥D-PBE的体积；
（3）求直线PB与平面PCD所成角的最大值．

Answer 1

分析 （1）要证平面PCD⊥平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；
（2）求出△BDE的面积，PA=AB=2$\sqrt{2}$，利用体积公式，即可求三棱锥D-PBE的体积；
（3）过点A作AH⊥PC于H，说明∠PBO为所求角，设PA=x，然后解三角形求直线PB与平面PCD所成角的最大值．

解答 （1）证明：因为∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC²=8+16-2×2$\sqrt{2}$×4×cos45°=8，解得AC=2$\sqrt{2}$，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；
（2）解：由（1）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，
△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，所以AC边上的高为2$\sqrt{2}$，
又DE=$\sqrt{2}$，所以△BDE的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2，
因为三角形PAB是等腰三角形，PA⊥平面ABCDE，
所以PA=AB=2$\sqrt{2}$，
所以三棱锥D-PBE的体积为$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（3）解：由（1）知平面PCD⊥平面PAC，
所以在平面PAC内，过点A作AH⊥PC于H，
则AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，

所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O，
则∠BPO为所求角，且AH=BO，
设PA=x，则AH=$\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{8+{x}^{2}}}$，
因为PB=$\sqrt{8+{x}^{2}}$
所以sin∠BPO=$\frac{2\sqrt{2}x}{8+{x}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{8}{x}+x}$≤$\frac{1}{2}$，当且仅当x=2$\sqrt{2}$时，取等号，即∠BPO=30°，
所以直线PB与平面PCD所成角的最大值为30°．

点评 本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．