Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中平面ABC⊥平面AA₁B₁B，CA=CB=AB=AA₁=2，∠BAA₁=60°，
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）直线A₁C与平面BB₁A₁A所成角的正弦值；
（3）求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过线面的垂直，直接转化成线线垂直，进一步转化成线面垂直，最后转化成线线垂直．
（2）利用面面垂直转化成线面垂直，进一步求出直线与平面的夹角，利用直角三角形求出结果．
（3）以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建立空间的坐标系，运用向量的法向量，结合向量的夹角公式，即可得到．

解答 证明：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，取AB的中点，连接CO和A₁O，
已知CA=CB=AB=AA₁=2，∠BAA₁=60°，
所以：△AA₁O为直角三角形．
则：A₁O⊥AB，
由于△ABC是等边三角形，
所以：CO⊥AB，
所以：AB⊥平面A₁CO，
则：AB⊥A₁C．
解：（2）在棱柱中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，
所以：CO⊥平面AA₁B₁B，
则：∠CA₁O为直线A₁C与平面BB₁A₁A所成角，
进一步根据CA=CB=AB=AA₁=2，解得：CO=${A}_{1}O=\sqrt{3}$，
所以：${A}_{1}C=\sqrt{6}$
所以：直线A₁C与平面BB₁A₁A所成角的正弦值为：
${sinCA}_{1}O=\frac{CO}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解：（3）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC两两垂直．
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建立空间的坐标系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），
B（-1，0，0），
则$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
可取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面的夹角及有关的运算问题．