Question

7．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x-2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值即可．

解答 （1）解：当a=2时，由已知得$f（x）=lnx-\frac{2}{x}$，
故$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}$，…（2分）
所以f'（1）=1+2=3，又因为$f（1）=ln1-\frac{2}{1}=-2$，
所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=3（x-1），
即3x-y-5=0；…（5分）
（2）解：由f（x）＞-x+2，
得$lnx-\frac{a}{x}＞-x+2$，又x∈（1，+∞），
故a＜xlnx+x²-2x．                    …（7分）
设函数g（x）=xlnx+x²-2x，
则$g'（x）=lnx+x•\frac{1}{x}+2x-2=lnx+2x-1$． …．…..…（8分）
因为x∈（1，+∞），
所以lnx＞0，2x-1＞0，
所以当x∈（1，+∞）时，g'（x）=lnx+2x-1＞0，…（10分）
故函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．
所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=1×ln1+1-2×1=-1．…（12分）
因为对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x-2成立，
所以对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立．
所以a≤-1．                   …..…（14分）

点评 本题主要考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．