Question

15．已知f（x）=$\frac{ax+2}{{{{（x+1）}^2}}}$（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）确定函数f（x）的单调区间，并指出函数f（x）是否存在最大值或最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1的函数的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出导数并分解因式，对a讨论，当0＜a＜2时，当a=2时，当a＞2时，解不等式可得增区间和减区间，极值及最值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=\frac{x+2}{{{{（x+1）}^2}}}$，$f'（x）=\frac{-（x+1）（x+3）}{{{{（x+1）}^4}}}$，
即有$f（1）=\frac{3}{4}$，$f'（1）=-\frac{1}{2}$，
所以切线方程为$y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}（x-1）$，
即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{a{{（x+1）}^2}-（ax+2）2（x+1）}}{{{{（x+1）}^4}}}$=$\frac{-（x+1）（ax-a+4）}{{{{（x+1）}^4}}}$，
其中a＞0，x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），
令f'（x）=0，得$x=1-\frac{4}{a}$，
（1）当$1-\frac{4}{a}＜-1$，即0＜a＜2时，

x	$（-∞，1-\frac{4}{a}）$	$1-\frac{4}{a}$	$（1-\frac{4}{a}，-1）$	（-1，+∞）
f'（x）	小于0	等于0	大于0	小于0
f（x）	递减	极小值	递增	递减

则f（x）的增区间是 $（1-\frac{4}{a}，-1）$，减区间是$（-∞，1-\frac{4}{a}）$和（-1，+∞），
当$x=1-\frac{4}{a}$时，取得极小值$f（1-\frac{4}{a}）$．又x∈（-1，+∞）时，$f（x）＞0＞f（1-\frac{4}{a}）$，
所以f（x）有最小值$f（1-\frac{4}{a}）=\frac{a^2}{4（a-2）}$；                                 
（2）当a=2时，f（x）的减区间是（-∞，-1）和（-1，+∞），f（x）无最大值和最小值．
（3）当a＞2时，f（x）的增区间是 $（-1，1-\frac{4}{a}）$，减区间是（-∞，-1）和$（1-\frac{4}{a}，+∞）$，
当$x=1-\frac{4}{a}$时，取得极大值$f（1-\frac{4}{a}）$．又x∈（-∞，-1）时，$f（x）＜0＜f（1-\frac{4}{a}）$，
所以f（x）有最大值$f（1-\frac{4}{a}）=\frac{a^2}{4（a-2）}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题的关键．