Question

5．已知m，n∈N^*，定义f_n（m）=$\frac{n（n-1）（n-2）…（n-m+1）}{m!}$
（1）记 a_m=f₆（m），求a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）记 b_m=（-1）^mmf_n（m），求b₁+b₂+…+b_2n所有可能值的集合．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到f_n（m）的通式，则由a_m=f₆（m）易求a_m的通式，所以将其代入所求的代数式进行求值即可；
（2）分类讨论：当n=1和n≥2两种情况下的b_2n的通式．

解答 解：（1）由题意知，f_n（m）=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥n+1}\\{{C}_{n}^{m}，1≤m≤n}\end{array}\right.$，
因为 a_m=f₆（m），
所以 a_m=$\left\{\begin{array}{l}{0．m≥n+1}\\{{C}_{6}^{m}，1≤m≤6}\end{array}\right.$，
所以 a₁+a₂+…+a₁₂=${C}_{6}^{1}$+${C}_{6}^{2}$+…+${C}_{6}^{6}$=63；

（2）当n=1时，b_m=（-1）^mmf₁（m），
当n≥2时，$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥2}\\{-1，m=1}\end{array}\right.$，
则b₁+b₂=-1．
当n≥2时，b_m=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≥n+1}\\{（-1）^{m}m{•C}_{n}^{m}，1≤m≤n}\end{array}\right.$，
又m${C}_{n}^{m}$=m•$\frac{n!}{m!（n-m）!}$=n•$\frac{（n-1）!}{（m-1）!（n-m）!}$=n${C}_{n-1}^{m-1}$，
所以b₁+b₂+…+b_2n=n[-${C}_{N-1}^{0}$+${C}_{N-1}^{1}$-${C}_{n-1}^{2}$+${C}_{n-1}^{3}$+…+（-1）ⁿ${C}_{n-1}^{n-1}$]=0，
所以b₁+b₂+…+b_2n的取值构成的集合为{-1，0}．

点评 本题主要考查了数列的通项及数列的求和，解题的关键是善于利用已知条件中的关系．