Question

15．已知椭圆C：x²+3y²=6的右焦点为F．
（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的标准方程即可得出；
（II）直线l：y=kx+m（k≠0）过点F，可得l：y=k（x-2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．（依题意△＞0）．
设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x₁，-y₁）．可得直线P'Q的方程可以为$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，令y=0，$x=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，把根与系数的关系代入化简即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，
∴c²=a²-b²=4，解得c=2，
∴焦点F（2，0），离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）过点F，
∴m=-2k，
∴l：y=k（x-2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}=6\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0．（依题意△＞0）．
设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}．{x_2}=\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．
∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x₁，-y₁）．
∴直线P'Q的方程可以设为$y+{y_1}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
令y=0，$x=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}+{x_1}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$
=$\frac{{k{x_2}（{x_1}-2）+k{x_1}（{x_2}-2）}}{{k（{x_1}+{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}-4）}}$
=$\frac{{2\frac{{12{k^2}-6}}{{3{k^2}+1}}-2\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}}}{{（\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+1}}-4）}}$=3．
∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为△＞0及其根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．