Question

11．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}$x+1，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极大值；
（2）求出导数，对a讨论，当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{3}$≤a＜1时，判断f′（x）的单调性，求得最值，得到a的不等式组，即可解得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}$x+1，0＜a＜1．
f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）； 
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1． 
（2）∵f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，1-a＞2a，
∴f′（x）在区间[1-a，1+a]内是单调递减．
∴f′（x）_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，f′（x）_min=f′（1+a）=2a-1，
∵-a≤f′（x）≤a，∴$\left\{\begin{array}{l}{-8{a}^{2}+6a-1≤a}\\{2a-1≥-a}\end{array}\right.$ 此时，a∈∅．
当$\frac{1}{3}$≤a＜1时，f′（x）_max=f′（2a）=a²，
∵-a≤f′（x）≤a，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}≤a}\\{2a-1≥-a}\\{-8{a}^{2}+6a-1≥-a}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{0≤a≤1}\\{a≥\frac{1}{3}}\\{\frac{{7-\sqrt{17}}}{16}≤a≤\frac{{7+\sqrt{17}}}{16}}\end{array}}\right.$，
此时$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$．
综上可知，实数a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{7+\sqrt{17}}{16}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性的运用：求最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．