Question

19．函数f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）a=0时，曲线f（x）=x³+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线f（x）=x³+x+2上同两点p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系，（真子集、相等），并证明你的结论．
（Ⅲ）a=3时，f（x）=x³+3x²+x+2的导函数f′（x）是二次函数，f′（x）的图象关于轴对称．你认为三次函数f（x）=x³+3x²+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）分别求出A，B，即可判断集合A、B之间的关系；
（Ⅲ）设y=f（x）图象的对称中心（m，n），则把$y=f（x）图象按向量\overrightarrow b=（-m，-n）平移，得到$y=g（x）图象关于原点对称，即y=g（x）是奇函数，利用g（x）是奇函数，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+x+2，
∴f′（x）=3x²+2ax+1．（1分）
若△=4a²-12＜0，即-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$时，f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增；（3分）
若△=4a²-12=0，即a=±$\sqrt{3}$时，对于$x∈R，有f'（x）≥0，当且仅当f'（-\frac{a}{3}）=0$，
故f（x）在R上单调递增；（4分）
若△＞0，显然不合；
综合所述，f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数，a∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；（5分）
（Ⅱ）B⊆A（6分）
证明：∵f（x）=x³+x+2有f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞），（7分）
设PQ斜率k，则$k=\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{（x_1^3-x_2^3）+（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$

=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$（8分）
=$x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2+1={（{x_1}+\frac{x_2}{2}）^2}+\frac{3x_2^2}{4}+1$（9分）
∵${（{x_1}+\frac{x_2}{2}）^2}+\frac{3x_2^2}{4}＞0$，
∴k＞1
得B=（1，+∞），
故 B⊆A（10分）
（Ⅲ）f（x）=x³+3x²+x+2的图象具备中心对称，
设y=f（x）图象的对称中心（m，n），则把$y=f（x）图象按向量\overrightarrow b=（-m，-n）平移，得到$y=g（x）图象关于原点对称，即y=g（x）是奇函数（（11分） ）
∵g（x）=f（x+m）-n=（x+m）³+3（x+m）²+（x+m）+2-n=x³+（3m+3）x²+（3m²+6m+1）x+m³+3m²+m+2-n
g（x）是奇函数的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{3m+3=0}\\{{m}^{3}+3{m}^{2}+m+2=0}\end{array}\right.$，
∴m=-1，n=3，
∴y=f（x）的图象关于点（-1，3）中心对称．（13分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、对称性，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．