Question

9．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x²+（y-1）²=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为2．

Answer 1

分析 因为圆的半径为$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），连接CM，显然CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．

解答 解：因为圆的半径为$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），连接CM，显然CM⊥AB，
因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=$\sqrt{5}$，
在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=$\frac{OM}{sin∠OCM}$，
根据题意，OA=OM=2，
所以，$\sqrt{5}$=$\frac{2}{sin∠OCM}$，
所以sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，tan∠OCM=-2（∠OCM为钝角），
而∠OCM与∠OAM互补，
所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．