Question

17．已知点A（1，2），直线l：x=-1，两个动圆均过A且与l相切，其圆心分别为C₁，C₂，若满足2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，则M的轨迹方程为（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y²=4x+2，利用2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．

解答 解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y²=4x+2，
设C₁（a，b），C₂（m，n），M（x，y），则
∵2$\overrightarrow{{C}_{2}M}$=$\overrightarrow{{C}_{2}{C}_{1}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}A}$，
∴2（x-m，y-n）=（a-m，b-n）+（1-m，2-n），
∴2x=a+1，2y=b+2，
∴a=2x-1，b=2y-2，
∵b²=4a+2，
∴（2y-2）²=4（2x-1）+2，即（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．
故答案为：（y-1）²=2x-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．