Question

5．设函数f（x）在[-1，t]上的最小值为N（t），最大值为M（t），若存在最小正整数k，使得M（t）-N（t）≤k（t+1）对任意t∈（-1，b]成立，则称函数f（x）为区间（-1，b]上的“k阶δ函数”．若函数f（x）=x²为区间（-1，4]上的“k阶δ函数”，则k的值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由新定义知，重点在于确定函数f（x）=x²在[-1，t]上的最值，故讨论以确定函数的最值，再由最值确定各段上的最小值k，从而确定k的值．

解答 解：①当-1＜t＜0时，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=t²，最大值M（t）=1，
故M（t）-N（t）=1-t²=（1-t）（1+t）≤2（1+t）；
②当0≤t≤1时，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=0，最大值M（t）=1，
故M（t）-N（t）=1≤1+t；
③当1＜t≤4时，
f（x）=x²在[-1，t]上的最小值N（t）=0，最大值M（t）=t²，
故M（t）-N（t）=t²≤4（1+t）；
综上所述，
k=4；
故选A．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与转化能力及分类讨论的思想应用，属于中档题．