Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2PA=4，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求△BEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）求出EF，BE，sin∠FEB，即可求出△BEF的面积．

解答 （1）证明：∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）解：由题意，PD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BE=4，
∴EF=$\sqrt{5}$
∵BE∥AD，EF∥PD，
∴∠FEB=∠PDA，
∴sin∠FEB=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△BEF的面积为$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}$=2．

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，考查△BEF的面积的计算，属于中档题．