Question

12．设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$为非零向量，已知命题p：若|$\overrightarrow{a}$|=2sin$\frac{π}{24}$，|$\overrightarrow{b}$|=4cos$\frac{π}{24}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{12}$；命题q：若函数f（x）=（x$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）的图象关于y轴对称，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0．则下列命题正确的是（　　）

• A． （￢p）∧（￢q）
• B． （￢p）∨q
• C． p∨q
• D． p∧q

Answer 1

分析 根据数量积的计算公式及二倍角公式4sin$\frac{π}{12}$cosθ=1，两边同乘以$cos\frac{π}{12}$便得到cosθ=$cos\frac{π}{12}$，所以$θ=\frac{π}{12}$，所以命题p是真命题；由f（x）的图象关于y轴对称，便可得到f（-x）=f（x），求出f（-x），这样便得到$x（{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}）=0$，所以得不到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，所以命题q是假命题，然后根据￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找到正确的命题．

解答 解：根据已知条件，设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$向量的夹角为θ，则：
$8sin\frac{π}{24}•cos\frac{π}{24}•cosθ=1$；
∴$4sin\frac{π}{12}•cosθ=1$；
∴4sin$\frac{π}{12}$$•cos\frac{π}{12}$$•cosθ=cos\frac{π}{12}$；
∴$cosθ=cos\frac{π}{12}$，0≤θ≤π；
∴$θ=\frac{π}{12}$；
∴命题p是真命题；
根据命题q知f（-x）=f（x）；
∴$（-x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}）=（x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{b}）$；
∴$-x{\overrightarrow{a}}^{2}+x{\overrightarrow{b}}^{2}+（1-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$x{\overrightarrow{a}}^{2}-x{\overrightarrow{b}}^{2}+（1-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴$x（{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}）=0$；
∴x=0，或$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
即得不到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
∴命题q是假命题；
∴￢p为假命题，￢q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨q为假命题，p∨q为真命题，p∧q为假．
故选：C．

点评 考查二倍角的正弦公式，向量夹角的范围，向量数量积的计算公式，以及函数f（x）关于y轴对称时满足f（-x）=f（x），命题￢p，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．