Question

2．由导数可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），求证：[（1+1×3）]…[1+（2n-1）（2n+1）]＞e${\;}^{2n-\frac{3}{2}}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 由导数可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），可得ln（1+x）＞lnx＞2-$\frac{3}{x}$，令x=1+（2n-1）（2n+1）（n∈N^*），则ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$（n∈N^*），一系列式子相加，由裂项相消法可得答案．

解答 证明：由导数可知：$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞3（x＞1），
∴lnx＞2-$\frac{3}{x}$，
∴ln（1+x）＞lnx＞2-$\frac{3}{x}$，
令x=1+（2n-1）（2n+1）（n∈N^*），则ln[1+（2n-1）（2n+1）]＞2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴ln（1+1×3）+ln（1+3×5）+…+ln[1+（2n-1）（2n+1）]
＞（2-$\frac{3}{1×3}$）+（2-$\frac{3}{3×5}$）+…+[2-$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$]
=2n-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=2n-$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞2n-$\frac{3}{2}$
∴[（1+1×3）]…[1+（2n-1）（2n+1）]＞e${\;}^{2n-\frac{3}{2}}$．（n∈N^*）

点评 本题考查函数导数的综合应用，涉及不等式的证明问题和数列求和的方法，属中档题、