Question

2．已知定义在区间[0，1]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-ax+2（a≥0），g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$．
（1）求函数f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，1]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数的性质即可求函数f（x）的最小值m（a）；
（2）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可．

解答 解：（1）由f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$得m（a）=$\left\{\begin{array}{l}2-\frac{{a}^{2}}{4}，0≤a＜2\\ 3-a，a≥2.\end{array}\right.$．
（2）令0≤x₀＜${x}_{0}^{'}$≤1，
则g（x₀）-g（${x}_{0}^{'}$）=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{x}_{0}+1}$-$\frac{{x}_{0}^{'2}}{{x}_{0}^{'}+1}$=$\frac{（{x}_{0}-{x}_{0}^{'}）（{x}_{0}{x}_{0}^{'}+{x}_{0}+{x}_{0}^{'}）}{（{x}_{0}+1）（{x}_{0}^{'}+1）}$，
∵x₀＜${x}_{0}^{'}$，
∴x₀-${x}_{0}^{'}$＜0，∴$\frac{（{x}_{0}-{x}_{0}^{'}）（{x}_{0}{x}_{0}^{'}+{x}_{0}+{x}_{0}^{'}）}{（{x}_{0}+1）（{x}_{0}^{'}+1）}$＜0，
即g（x₀）＜g（${x}_{0}^{'}$），
∴函数g（x）在[0，1]上为增函数，值域为[0，$\frac{1}{2}$]，
由题设，得f（x₂）_min＞g（x₁）_max，
故$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜2\\ 2-\frac{{a}^{2}}{4}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a≥2\\ 3-a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得0≤a＜$\frac{5}{2}$，
所求a的取值范围为[0，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键．