Question

7．设△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对的边长为a，b，c，且ab+ac=bc，则sinA的最大值为$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

Answer 1

分析 由ab+ac=bc，可得a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{bc}$，利用余弦定理及基本不等式，可求得cosA≥$\frac{7}{8}$，从而可得sinA的最大值．

解答 解：∵ab+ac=bc，
∴a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{bc}$，当且仅当b=c时取等号．
两边平方可得：${a}^{2}≤\frac{1}{4}$bc，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA≤$\frac{1}{4}bc$，
∴2bc-2bccosA$≤\frac{1}{4}$bc，
化为cosA≥$\frac{7}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$≤$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{8}$，

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．