Question

4．设等比数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N^*），证明：对任意的n∈N^*，不等式$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＞$\sqrt{n+1}$成立．

Answer 1

分析 由已知结合对数的运算性质求得b_n=2n，得到$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n}}=\frac{2n+1}{2n}$，代入T_n=$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$，两边平方后放大，再开方得答案．

解答 证明：∵a_n=2^n-1，
b_n=2（log₂a_n+1）=$2（lo{g}_{2}{2}^{n-1}+1）=2n$，
∴$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n}}=\frac{2n+1}{2n}$，
令T_n=$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2}×\frac{5}{4}×…×\frac{2n+1}{2n}$，
则${{T}_{n}}^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}×（\frac{5}{4}）^{2}×…×（\frac{2n+1}{2n}）^{2}$$＞（\frac{3}{2}×\frac{4}{3}）（\frac{5}{4}×\frac{6}{5}）…（\frac{2n+1}{2n}×\frac{2n+2}{2n+1}）$=$\frac{2n+2}{2}=n+1$．
∴T_n=$\frac{{b}_{1}+1}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{2}+1}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$$＞\sqrt{n+1}$．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了对数的运算性质，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．