Question

6．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+a₄=20，a₁，a₂，a₄成等比数列，求集合A={x|x=a_n，n∈N^*且100＜x＜200}的元素个数及所有这些元素的和．

Answer 1

分析 设{a_n}的公差为d，确定d=a₁，可得数列的通项，即可得出结论．

解答 解：设{a_n}的公差为d，则a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d．
∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
解得d=a₁．
又∵a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+（a₁+3d）=4a₁+6d=20，解得a₁=d=2．
∴x=a_n=2+2（n-1）=2n．
∴A={x|x=2n，n∈N^*且100＜x＜200}，
∵100＜2n＜200，＜N＜100．
∴集合A中元素个数为100-50-1=49（个）．
由求和公式得S=$\frac{102+198}{2}$×49=7350．

点评 本题考查等差数列、等比数列的性质，考查数列的求和公式，属于中档题．