Question

18．根据下列条件，求圆的方程：
（1）经过P（-2，4），Q（3，-1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）．

Answer 1

分析 （1）求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得3²+d²=r²，解得a，求出圆的方程即可；
（2）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得a，b，r的值，进而得到圆的方程．

解答 解：（1）因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，
所以设圆心C的坐标为（a，a+1），
半径r=|PC|=$\sqrt{（a+2）^{2}+（a-3）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+13}$，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，
由题意得3²+d²=r²，即3²+（a+1）²=2a²-2a+13，
整理得a²-4a+3=0，解得a=1或a=3．
当a=1时，圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=13； 
当a=3时，圆的方程为（x-3）²+（y-4）²=25．
综上得，所求的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=13或（x-3）²+（y-4）²=25；
（2）解：设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）
由题意有：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}=r}\\{\frac{b+2}{a-3}•（-1）=-1}\end{array}\right.$
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{r=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．

点评 本题是中档题，考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，注意圆心到弦的距离与半径，弦长的关系的应用，考查计算能力，转化思想．