Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 由已知首先化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用三角函数的性质解答．

解答 解：由已知f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1=$\sqrt{3}$cos2x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x$+\frac{π}{3}$），
所以（1）f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$，
又y=sinx的单调减区间为[$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ$]，
所以f（x）的单调减区间（2x$+\frac{π}{3}$）∈[$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ$]，
解得单调递减区间[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ$+\frac{7}{12}π$]；
（2）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
则（2x$+\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]，
所以f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范围是[-1，2]．

点评 本题考查了利用三角函数倍角公式以及两角和与差的三角函数公式化简三角函数式，进一步求周期及单调性．