Question

4．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，有下列四个命题：
p₁：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$
p₂：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$
p₃：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＜$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$
p₄：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$
其中的真命题是（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 先求函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$；从而由f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$有正有负知p₁假p₂真，再由f（x）在（0，e）上是增函数，在[e，+∞）上是减函数知p₃假，p₃真．

解答 解：函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$；
∵f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$有正有负，
∴p₁：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$是假命题，
p₂：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$是真命题；
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，e）上是增函数，在[e，+∞）上是减函数，
故令x₀=e，则f′（x₀）=0，
且f（x₀+x）＜f（x₀），
故f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$；
故p₄：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$是真命题，
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了凸、凹函数的判断与应用，属于难题．